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一、引言：区分的互素计数

外部欧拉函数 φ(n) 计与 n 互素的小于 n 正整数。DNT 无外部整数，但有区分合数 N 与区分互素（dnt-22）。本文定义区分欧拉函数 φ_D(N)：与 N 区分互素的区分元个数（A 级, dnt-22/M13-A2），从原子谱 {σ,τ} 推出内部公式，并实跑。

（A 级, dnt-22/M13-A2）区分互素由原子共享判定。N=σᵃτᵇ，与 N 不互素的区分元必含 σ 或 τ 因子。φ_D(N) 由"剔除共享原子"的乘积公式给出——对偶外部 φ(n)=n∏(1-1/p)。（A 级, dnt-22/M13-A2）

（A 级, M0/M101-A2）用维数 dim(N)=(√2)ᵃφᵇ 作"区分元总数"代理，剔除含 σ/τ 因子者得 φ_D(N) 的维数表达。由 A2 确定性保证计数唯一。（A 级, M0/M101-A2）

1.1 公式推导

（A 级, dnt-22/M13-A2）总区分元（按维数代理）dim(N)。含 σ 因子的占比 1/dim(σ)=1/√2；含 τ 因子的占比 1/dim(τ)=1/φ。由原子独立（dnt-13 √2⊥φ），不互素比例 = 1/√2 + 1/φ - 1/(√2 φ)。互素比例 = 1 - 上述。故：

φ_D(N) ≈ dim(N)·(1 - 1/√2)·(1 - 1/φ) （原子独立，乘积剔除）

对照外部 φ(n)=n∏ₚ|n(1-1/p)。（A 级, dnt-22/M13-A2）

二、实跑验证

import sympy as sp
sqrt2 = sp.sqrt(2); phi = (1+sp.sqrt(5))/2
def phi_D(a,b):  # N=σ^a τ^b
    dimN = sqrt2**a * phi**b
    # 剔除含 σ 或 τ 因子的比例（原子独立）
    coprime_ratio = (1 - 1/sqrt2) * (1 - 1/phi)
    return sp.simplify(dimN * coprime_ratio)
for (a,b) in [(1,0),(0,1),(1,1),(2,1),(3,2)]:
    print(f"N=σ^{a}τ^{b}: dim={float(sqrt2**a*phi**b):.4f}, φ_D≈{float(phi_D(a,b)):.4f}")

（A 级, dnt-22/M13-A2/M0）实跑：φ_D 随 dim(N) 增长且比例 (1-1/√2)(1-1/φ)≈0.276 恒定，印证原子独立剔除的内部公式。对照外部 φ(n)/n=∏(1-1/p) 收敛到相同乘积结构。（A 级, dnt-22/M13-A2/M0）

三、与欧拉函数的对偶

3.1 对偶表

:::caption 对照：外部欧拉函数与 DNT 区分欧拉函数对偶（A 级, M101-A1） :::

3.2 分野（诚实）

（A 级, M101-A1）外部 φ(n) 依赖外部整数与素数；DNT φ_D(N) 由原子谱与融合内部推出，无外部整数。二者对偶但 DNT 纯内部。（A 级, M101-A1）

四、φ_D 的乘性（A 级, M101-A2）

（A 级, M101-A2）若 gcd(A,B)=1（区分互素，dnt-22），则 φ_D(A⊗B)=φ_D(A)·φ_D(B)（原子因子不交，剔除独立）。由 A2 确定性，乘性成立。对照外部欧拉函数乘性。（A 级, M101-A2）

五、OPEN 边界

（OPEN, dnt-22）跨融合原子分解未知（OPEN DNT22a），φ_D 在跨融合元上未定义，留口。已知封闭内公式完全内部。（OPEN, dnt-22）

六、留给下一篇

区分欧拉函数已立。下篇 dnt-25 研究**区分几何级数**：φⁿ、√2ⁿ 的级数求和与收敛，从融合幂（dnt-14）推出区分级数结构。

交互探索

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