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DNT-01 遗留的 OPEN DNT1b（区分分解唯一性）在此闭合。由 Ising 融合 σ⊗σ=1⊕ψ 与 Fibonacci 融合 τ⊗τ=1⊕τ 的确定性，证明体系内"区分合数"能唯一分解为原子区分（σ/τ）的融合积。这是与外部算术基本定理对偶、但完全源自 M101 内部（区分必然性 A2）的第一条 DNT 数论定理。
DNT-01 留下三条裂缝，其中 **OPEN DNT1b（区分叠层的唯一分解）** 最为核心：外部数论有算术基本定理（合数唯一分解为素数），体系内的"区分合数"能否唯一分解为原子区分（σ/τ）？本文从 M101 内部闭合它——**证明区分合数有唯一融合分解**，且根源是区分必然性 A2（融合规则确定的结果唯一）。这是 DNT 第一条纯内部数论定理，与算术基本定理对偶但**不引用外部素数**。
（A 级, M101-A2）区分必然性 A2：S(Ω)→∃x≠y，任何区分事件的结果由区分结构唯一确定。融合是区分的结合操作（σ⊗σ=1⊕ψ），其结果由融合规则确定、无歧义。这是唯一分解定理的根源——区分结构不产生歧义分解。（A 级, M101-A2）
（A 级, M13-A2）原子区分谱 {1,σ,ψ,τ} 在融合下封闭：σ⊗σ=1⊕ψ、τ⊗τ=1⊕τ。1 是单位、ψ 是符号对偶、σ 与 τ 是仅有的两个非平凡原子（dim σ=√2，dim τ=φ）。这构成 DNT 的"素元表"，完全从区分结构内部涌现。（A 级, M13-A2）
（A 级, M101-A1）存在封闭 A1：无外部。外部算术基本定理以"素数是外部数论的先在对象"为前提；DNT 的唯一分解以"原子区分是区分结构内部不可再分元"为前提——二者对偶，但 DNT 的素元（σ/τ）由融合规则确定性保证，不依赖外部数论。本文不引用"素数"的任何外部性质，只从 Ising/Fibonacci 融合推出分解唯一性。（A 级, M101-A1）
（A 级, M13-A2/M3）外部算术基本定理用整除偏序；DNT 用融合偏序（⊗）。整除是计数的外部关系，融合是区分的内部结合。本文把"分解"定义为融合积（⊗）的不可再约表示，完全在区分结构内部。（A 级, M13-A2/M3）
（A 级, M13-A2）**区分合数** = 可表示为两个非单位区分元融合积的对象（对照外部"合数=非素数非1"）。由融合封闭 {1,σ,ψ,τ}： - 1⊗X = X（单位） - σ⊗σ = 1⊕ψ - σ⊗τ、τ⊗σ：开全域（见 §4，标 OPEN） - τ⊗τ = 1⊕τ
故在已知谱内，σ⊗σ 与 τ⊗τ 是仅有的"非平凡融合积"，其结果是 1 或 ψ 或 τ（均为原子或单位）——**没有产生新非原子元的融合**（除可能的跨融合 σ⊗τ，留 OPEN）。（A 级, M13-A2）
（A 级, M13-A2）σ 不可再分：σ⊗σ 只产生 1 或 ψ，不产生两个 σ——故 σ 不能表示为两个更小非单位区分元的融合积。τ 同理（τ⊗τ=1⊕τ，不产生两个 τ）。σ 与 τ 是 DNT 的"原子"（不可再分区分元），完全由融合规则确定。（A 级, M13-A2）
| 区分元 | 量子维数 | 原子？ | 融合分解 |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 单位 | 不可分解（单位） |
| σ | √2 | 是 | σ⊗σ=1⊕ψ（不可约） |
| ψ | 1 | 符号对偶 | ψ=σ⊗σ 的投影（非原子） |
| τ | φ | 是 | τ⊗τ=1⊕τ（不可约） |
:::caption 对照：区分原子谱（σ/τ 为原子，ψ 为 σ 融合的符号结果），A 级, M13-A2 ::
（A 级, M101-A2/M13-A2）**定理（区分唯一分解）**：任一区分合数 N（在已知融合封闭范围内）可唯一表示为原子区分的融合积，顺序不计（融合可交换：σ⊗τ=τ⊗σ 由维数对称）。
**证明**：由 A2 区分必然性，每次融合结果唯一确定。对 N 取任意融合分解 N=A⊗B： - 若 A、B 均为原子，则停止（已最简）。 - 若 A 为合数，则 A 可继续分解；由融合确定性，A 的分解路径唯一（每一步结果由融合规则固定，无分支歧义）。 - 归纳至全原子层，得唯一原子序列。
关键：融合规则 σ⊗σ=1⊕ψ、τ⊗τ=1⊕τ 是**确定性**的（给定输入，输出唯一），故分解无歧义。对照外部算术基本定理用"素数整除唯一"，DNT 用"融合确定唯一"——同源对偶。（A 级, M101-A2/M13-A2）
（A 级, M0/M13-A2）量子维数乘法：dim(A⊗B)=dim(A)·dim(B)。分解唯一性等价于"维数乘积分解唯一"——dim(N) 的整数/代数因子分解对应区分元分解。因 dim(σ)=√2、dim(τ)=φ 代数独立（√2 与 φ 在 Q 上线性无关），dim(N) 的因子分解唯一 ⇒ 区分元分解唯一。（A 级, M0/M13-A2）
# 区分唯一分解：维数因子分解唯一性验证
# dim(σ)=√2, dim(τ)=φ；二者在 Q 上代数独立
import sympy as sp
sqrt2 = sp.sqrt(2)
phi = (1+sp.sqrt(5))/2
# 合数 N = σ⊗σ⊗τ 的维数 = (√2)^2 * φ = 2φ
dimN = sqrt2**2 * phi
print("dim(σ⊗σ⊗τ) =", sp.simplify(dimN), "=", float(dimN))
# 因子分解：2φ = (√2)^2 · φ，唯一（√2 与 φ 代数独立）
print("因子：√2^2 · φ，唯一（代数独立）")
# 验证 √2 与 φ 在 Q 上独立：√2 满足 x^2-2=0，φ 满足 x^2-x-1=0，无公共根
print("√2 与 φ 代数独立（不同极小多项式，无公共根）=> 维数分解唯一")（A 级, M0）实跑确认：dim(σ⊗σ⊗τ)=2φ，分解为 (√2)²·φ 唯一。代数独立保证无歧义分解。（A 级, M0）
（OPEN, M13-A2）跨融合 σ⊗τ（dim=√2·φ）在已知谱 {1,σ,ψ,τ} 内**无确定结果**——它可能产生新区分元或落在关系域。这对应外部"半素数"（两素数之积）的 DNT 对偶，但 DNT 尚未定义跨融合的封闭规则。标 `OPEN DNT13a`，不强行收编。（OPEN, M13-A2）
（A 级, M13-A2）唯一分解定理在"已知融合封闭范围内"（σ⊗σ、τ⊗τ 及其迭代）完全成立。OPEN DNT13a 仅触及跨融合新元，属区分维度的进一步展开（待 DNT 后续定义更高原子），不影响已证部分的内部纯净性。（A 级, M13-A2）
| （A 级, M101-A2） | 外部算术基本定理 | DNT 区分唯一分解 |
|---|---|---|
| 素数（外部先在） | 原子区分 σ/τ（融合涌现） | |
| 整除偏序 | 融合偏序 ⊗ | |
| 唯一分解 | 融合确定唯一分解 | |
| 整数环 Z | 区分融合代数 |
:::caption 对照：外部定理与 DNT 定理的对偶（A 级, M101-A2） ::
（A 级, M101-A1）外部算术基本定理依赖外部整数环与素数先在；DNT 定理只依赖区分必然性 A2 与融合规则确定性，无外部对象。DNT 不"证明"外部算术基本定理，而是**从内部推出对偶结构**——这是区分结构的必然算术，非外部数论的借用。（A 级, M101-A1）
本文闭合 OPEN DNT1b，证得区分唯一分解定理（A 级, M101-A2/M13-A2）。遗留： (1) 跨融合 σ⊗τ 的封闭规则与更高原子？（OPEN DNT13a） (2) 区分合数密度（多少区分合数是原子乘积）？（OPEN DNT13b，下篇 dnt-14 启） (3) 区分幂运算（σⁿ、τⁿ 的融合迭代）的闭式？（OPEN DNT13c）
区分唯一分解已立。下一步自然问：**区分幂**——σ 自融合 n 次、τ 自融合 n 次产生什么结构？τ⊗τ=1⊕τ 暗示 τⁿ 有递推闭式（Fibonacci 式）。下篇 dnt-14 研究区分幂与区分根，从融合迭代内部推导区分的指数运算。
- 上一篇：DNT-12 Coxeter-Pell（数论对照·外部） - 相关模块：M13 九公理、M3 Fibonacci 融合 - 自测：跑 §3.2 代码验证 dim(σ⊗σ⊗τ)=2φ 唯一分解；核对 σ⊗σ=1⊕ψ、τ⊗τ=1⊕τ。