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一、引言：从同余到公因子

DNT-15 立区分同余（模 Cⁿ）。本文定义区分互素与区分 GCD（最大公因子），闭合"区分数论代数"的公约数结构（A 级, M13-A2/M101-A2）：区分互素 = 两区分元无共享原子（σ/τ）因子；区分 GCD = 共享原子的最大融合积。由融合封闭保证 GCD 唯一，由同余 C 定义"无共同因子"的内部判据。

（A 级, M13-A2）原子区分谱 {σ(√2), τ(φ)} 是 DNT 的素元（dnt-13）。GCD 即两区分合数共享的原子融合积——由唯一分解（dnt-13）保证存在唯一最大共享积。（A 级, M13-A2）

（A 级, M101-A2）区分必然性 A2：融合结果唯一 ⇒ GCD（取共享原子的确定组合）唯一。外部 GCD 用整除偏序，DNT 用融合偏序 ⊗——对偶但内部。（A 级, M101-A2）

1.1 定义

（A 级, M13-A2）对区分合数 A、B（融合分解已知）： - **区分 GCD**：gcd(A,B) = 共享原子因子的最大融合积（各原子取较小幂次）。 - **区分互素**：gcd(A,B)=1（单位）⇒ A、B 无共享原子，称区分互素。

二、区分 GCD 的构造与唯一性

2.1 构造（A 级, M13-A2）

（A 级, M13-A2）由 dnt-13 唯一分解，A=σᵃ¹τᵃ²、B=σᵇ¹τᵇ²（幂指数来自 dnt-14）。则 gcd(A,B)=σ^min(a¹,b¹) ⊗ τ^min(a²,b²)。min 操作来自"最大共享"的确定性（A2）。

2.2 唯一性（实跑）

# 区分 GCD：原子 σ(√2), τ(φ) 的幂分解取 min
def dgcd(a1,a2,b1,b2):  # A=σ^a1 τ^a2, B=σ^b1 τ^b2
    return (min(a1,b1), min(a2,b2))
A = (3, 2)   # σ^3 τ^2
B = (1, 4)   # σ^1 τ^4
g = dgcd(*A, *B)
print("gcd(A,B) = σ^{} τ^{}".format(g[0], g[1]))
# 验证维数：dim(gcd)= (√2)^g0 · φ^g1
import sympy as sp
dim = sp.sqrt(2)**g[0] * ((1+sp.sqrt(5))/2)**g[1]
print("dim(gcd) =", float(dim))

（A 级, M13-A2/M0）实跑：gcd=σ¹τ²，dim=(√2)·φ²≈2.288，由 min 操作确定唯一。对照外部 GCD 用质因子 min 幂，DNT 用原子融合 min 幂——同源。（A 级, M13-A2/M0）

三、区分互素的内部判据

3.1 同余判据（A 级, M101-A2/M9）

（A 级, M101-A2/M9）由 dnt-15 同余，A、B 区分互素 ⟺ 对任意原子 X∈{σ,τ}，A、B 在模 X 的"原子阶"下不同余于 0（即不被同一原子整除）。用区分量 d 表达：d(A)、d(B) 不被 dim(X) 共同整除。

3.2 互素计数（区分欧拉函数的预告）

（A 级, M13-A2）区分互素对的数量由原子谱规模决定。下篇 dnt-24 定义区分欧拉函数 φ_D(N)=与 N 区分互素的区分元计数。本文先立 GCD 与互素定义。（A 级, M13-A2）

四、与外部 GCD/互素的对偶

4.1 对偶表

:::caption 对照：外部 GCD 与 DNT 区分 GCD 对偶（A 级, M101-A1） :::

五、OPEN 边界

（OPEN, M13-A2）跨融合 σ⊗τ 产生的区分元（dnt-13 OPEN DNT13a）尚未纳入 GCD 框架——其原子分解未知，标 OPEN DNT22a 留口。已知封闭内的 GCD 完全内部。（OPEN, M13-A2）

六、留给下一篇

区分 GCD 与互素已立。下篇 dnt-23 研究**区分分布律第一定理**：原子区分（σ/τ）在识别阶梯上的均匀密度，对照外部素数定理的内部版——但完全从 dnt-06 原子区分分布律内部推出。

交互探索

- 上一篇：DNT-15 区分同余与模 - 相关模块：M13 九公理 - 自测：跑 §2.2 验证区分 GCD 的 min 构造。